Dr. Christian A. Caroli – د. كْرِسْتْيَان أ. كَارُلِي

Das Aufeinandertreffen zweier Kulturen III

Caroli: Das Aufeinandertreffen zweier Kulturen III (Coverbild)

Christian A. Caroli:

Das Aufeinandertreffen zweier Kulturen III – Das Museion zu Alexandreia und das Programm des Ἑλληνισμός unter Ptolemaios I. Soter
 

Konstanz 2019
 

Umfang: VIII + 70 Seiten • Format: 21 x 14,8 cm (A5)

 

 

D) Die Bedeutung und Förderung von Kultur und Wissenschaften unter Ptolemaios I.

II.) Der Charakter der Studien unter Ptolemaios I. und die einzelnen Vertreter

e) Euklid

Unter Ptolemaios I. weilte auch der Mathematiker und Geometer Euklid in Alexandreia und lehrte dort.55 Er entstammte der Akademie in Athen (Prokl. Diad. pp. 68,20-69,27 Friedlein), in der die Beschäftigung mit Mathematik eine wichtige Rolle spielte, da sie im Rahmen der Ideenlehre einen zentralen Platz einnahm, während der Peripatos sich hingegen kaum mit diesem Gebiet beschäftigte, so daß ein großer Vertreter der Mathematik aus dieser Schule, aus der sich die meisten Gelehrten vor Ort rekrutierten, weniger wahrscheinlich gewesen wäre.56

Sein Hauptwerk und das mit der größten Wirkungsgeschichte sind die aus 13 Büchern bestehenden Στοιχεῖα, d.h. die Elemente, über die Grundbegriffe der Geometrie. Die Bücher I-IV behandeln hierbei die Geometrie der ebenen Figuren, nämlich die Dreiecke (I), die Parallelogramme und die Transformation rechtwinkliger Flächen (II), den Kreis (III) und die Ein- und Umzeichnung von Dreiecken und Polygonen (IV). Buch V beschäftigt sich mit den Proportionen, die in Buch VI in der Geometrie der Ebene angewandt werden. Mit rationalen Zahlen und elementarer Mathematik setzen sich die Bücher VIII-IX auseinander, während Buch X sich der Inkommensurabilität in Form von Strecken widmet, die sich mit einer anderen Strecke nicht in ein rationales Verhältnis bringen lassen. Aufbauend auf der Geometrie der ebenen Figuren wird schließlich in den Büchern XI-XIII die der soliden Körper behandelt. Hierbei werden alle mathematischen Probleme als geometrische behandelt, die auch auf geometrische Weise gelöst werden, während eine Notation in algebraischer Form noch nicht vorkommt.57

Seine Geometrie baut dabei, wie auch die heutige, auf einer bestimmten, recht geringen Anzahl von Axiomen (κοιναὶ ἕννοια) auf, die als selbstevidente Wahrheiten angesehen werden und selber nicht logisch von anderen Sätzen abgeleitet werden können, während alle anderen geometrischen Sätze logisch-deduktiv von diesen Axiomen hergeleitet werden. Die erhaltenen Handschriften überliefern zwar neun Axiome, von denen aber vier eindeutig überflüssig sind, während zwei weitere spätere Hinzufügungen zu sein scheinen, so daß drei übrigbleiben, wie auch Heron gemäß Proklos nur drei Axiome anerkannte (Prokl. Diad. pp. 196,15-198,15 Friedlein). Hinzu kamen noch 23 Definitionen (ὅροι) in möglichst einfacher Formulierung, wie daß (1.) ein Punkt das sei, was keinen Teil habe, oder (2.) eine Linie eine Länge ohne Breite sei. Abgeschlossen wurden die zugrundeliegenden Annahmen noch durch Hilfshypothesen, deren Gültigkeit als solche nicht bewiesen werden kann, die Postulate (αἰτήματα). Gemäß Definition lieferten die „Elemente“ schließlich das System zur Lösung aller geometrischen Probleme, indem sie die Grundlagen aller anderen Probleme behandeln, aus denen die komplexeren abgeleitet bzw. zusammengesetzt werden können (Prokl. Diad. pp. 71,27-72,6 Friedlein & pp. 73,25-74,18 Friedlein).58

In der Erstellung eines logisch in sich konsistenten Systems, das „hundreds of earlier geometrical theorems“ abdeckt und dabei auf wenigen Grundannahmen basiert, dürfte wohl die hauptsächliche Leistung Euklids bestehen, auch wenn die Leistungen seiner Vorgänger nicht mehr festgestellt werden können. So hatten wohl schon die Pythagoreer die meisten Theoreme der Bücher I-IV und einen nicht unbedeutenden Teil der Theorie der Bücher VI und VII gekannt, obwohl sich die Beweise z.T. von ihrer Struktur her unterscheiden. Hierunter gehören v.a. das Theorem, daß die Summe aller Innenwinkel eines Dreieckes gleich der zweier rechter Winkel sei, und der Satz des Pythagoras. Allerdings entwickelte Euklid bei diesem Satz wohl einen besseren Beweis (Eukl. elem. 1,47) als die Pythagoreer.59 Theaitetos hatte sich mit den im Buch X behandelten irrationalen Zahlen beschäftigt (s. Plat. Theait. 147d-148b) und teilweise auch die Eigenschaften von soliden Körpern gekannt (Suda s.v. Θεαίτητος, Ἀθηναῖος), die Thema des Buches XI sind, wie auch das Buch XIII über die Konstruktion dieser fast vollkommen auf Theaitetos beruht (Schol. Eukl. elem. 13,1 (p. 654)). Die im Buch V untersuchten inkommensurablen Zahlen waren schon von Eudoxos behandelt worden (Schol. Eukl. elem. 5,1-3 (pp. 280-283)), während Euklids Methode der exhaustion, auf der das Buch XII basiert, schon von Hippokrates und Demokrit angewandt worden war (Schol. Eukl. elem. 10,26). Auch Versuche einer Systematisierung der mathematischen Erkenntnisse gehen zumindest auf Hippokrates von Chios, der gegen Ende des 5. Jh. gewirkt hatte, zurück und waren vor Euklid noch von Archytas und Theaitetos,60 Leon und Theudios von Magnesia unternommen worden (Prokl. Diad. pp. 65,7-67,19 Friedlein passim).61

Euklids System produzierte dabei etliche Widersprüche zu den Lehren vorangegangener Mathematiker, so daß es in der Folgezeit auch Assimilationserscheinungen gab.62 Dennoch bauten alle seine Nachfolger auf den Theoremen und methodologischen Grundlagen Euklids auf. Alle nachfolgenden nicht-euklidischen Geometrien basieren lediglich auf der Auslassung eines einzigen Postulates, nämlich des fünften,63 indem sie versuchen dieses auf Basis der anderen Grundlagen abzuleiten, was bisher nicht gelang.64 Ein gewisser Teil des Erfolges der Elemente Euklids könnte zu seiner Zeit aber auch auf psychologischer Basis begründet sein, indem sein System in einer Welt voller Unordnung und Unsicherheiten ein Gefühl von einer Ordnung gab, die konsequent und in sich konsistent auf einfachen, kaum anzweifelbaren Fundamenten aufbaut.65

Neben den Elementen verfaßte Euklid die verlorengegangen Ψευδάρια bzw. das Ψευδάριον, deren bzw. dessen Methode darin besteht, einen wahren Satz durch einen falschen zu ersetzen und mittels diesen einen Widerspruch zu erzeugen (reductio ad absurdum), so daß sie gern als ein supplementäres Werk zu den Elementen gesehen werden (Prokl. Diad. pp. 69,27-70,18 Friedlein). Hinzu kam ein ebenfalls verschollenes Werk über Πορισμοί (Prokl. Diad. pp. 301,21-302,13 Friedlein), d.h. über Sätze, die zwar als solches sichtbar, aber noch nicht auf die Theoreme zurückgeführt worden sind (s. Papp. coll. 7,13-16), während in Τὰ Δεδόμενα die Kompatibilität bzw. Umwandelbarkeit von Aussagen über die Vorgaben, wie z.B. daß man aus dem Satz, daß ein gewisser Radius gegeben sei, auch der Satz gefolgert werden könne, daß ein Kreis gewisser Größe gegeben sei, behandelt wird. Mit Schnitten geometrischer Figuren beschäftigte sich Euklid in dem in arabischer Übersetzung erhaltenen Werk Περὶ διαιρέσεων βιβλίον. Auch eine auf geometrischen Grundlagen basierende Schrift über die Optik wird unter seinem Namen angeführt.66

Aus der Zeit seines Aufenthaltes in Alexandreia wird noch die Anekdote überliefert, daß Euklid Ptolemaios I. auf die Frage nach einem kürzeren Weg zur Erlernung der Geometrie als über die Elemente geantwortet habe, daß auch ein König keinen anderen Zugang zur Mathematik habe als jeder andere (Prokl. Diad. p. 68,13-17 Friedlein). Allerdings existiert diese Überlieferung auch über den Mathematiker Menaichmos, der dies gegenüber Alexander den Großen geäußert haben soll (Stob. 2,31,115), dennoch dürfte sie zumindest ein Symbol für die Freimütigkeit der Gelehrten und die Wißbegierde und Toleranz des Herrschen darstellen.67

 

 

Anmerkungen:

55 Schol. Eukl. elem. 1,1 (p. 73) & Prokl. Diad. p. 68,10-11 Friedlein & Papp. coll. 7,35.

56 Fraser (1972), Bd. I, pp. 383 & 385-387 & 389; s.a. Mahaffy (1895), pp. 100-101; Hölbl (1994), p. 65.

57 Fraser (1972), Bd. I, pp. 390-391; s.a. Schneider (1967/69), Bd. II, p. 346; Grant (1990), p. 151; Argoud (1998), p. 118.

58 Fraser (1972), Bd. I, pp. 390-393; s.a. Davies (1984), p. 331; Green (1990), pp. 456 & 464; Arieti (2005), p. 230; Engster (2013), pp. 37-38.

59 Prokl. Diad. p. 379,2-16 Friedlein & pp. 426,6-428,21 Friedlein passim.

60 s. Suda s.v. Θεαίτητος, Ἀθηναῖος & Pappus in Eukl. 10 arabisch (Übersetzung: Suter (1922), pp. 13-14).

61 Fraser (1972), Bd. I, pp. 379-384; s.a. Jones / Heath (1928), pp. 299-300; Davies (1984), p. 331.

62 Green (1990), p. 456.

63 Wenn eine Gerade zwei andere Geraden so schneidet, daß die beiden Innenwinkel auf derselben Seite der ersten Geraden zusammen weniger als zwei rechte Winkel ergeben, so schneiden sich die beiden anderen Geraden mit einem Winkel geringer als zwei rechte, und zwar von der ersten Gerade aus gesehen auf der Seite dieser Innenwinkel.

64 Arieti (2005), pp. 230-231; s.a. Fraser (1972), Bd. I, p. 393; Davies (1984), p. 332; Green (1990), p. 464.

65 Green (1990), p. 464.

66 Fraser (1972), Bd. I, pp. 388-389; s.a. Jones / Heath (1928), pp. 300-301.

67 Bengtson (1975), p. 30; s.a. Geier (1838), p. 71; Fraser (1972), Bd. I, pp. 386-387; Huß (2001), p. 234; Casson (2001), p. 32.

 

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